Question

【题目】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．

①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为，③∠ABC．

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F．

（1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；

（2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）设PC的中点为H，连结FH，由题意得AGHF为平行四边形，则AF∥GH，由此能证明在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．

（2）选择①AB⊥BC，推导出AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择②FC与平面ABCD所成的角为，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FM∥PA，且FM＝1，FM⊥平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为∠FCM，，推导出AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择③∠ABC，推导出PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，推导出 AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．

（1）在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．

证明如下：如图所示：

设PC的中点为H，连结FH，

因为，，，，

所以

所以四边形AGHF为平行四边形，

则AF∥GH，

又GH平面PGC，AF平面PGC，

∴AF∥平面PGC．

（2）选择①AB⊥BC：

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，

由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，

以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA＝AB＝2，

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，1，1），P（0，0，2），

∴（0，1，1），（﹣2，﹣1，1），

设平面FAC的一个法向量为（x，y，z），

∴，

取y＝1，得（﹣1，1，﹣1），

平面ACD的一个法向量为（0，0，1），

设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，

则cosθ，

∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．

选择②FC与平面ABCD所成的角为：

∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，

则FM∥PA，且FM＝1，

∴FM⊥平面ABCD，

FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴，

在Rt△FCM中，CM，

又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，

∴AE，AD，AP彼此两两垂直，

以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA＝AB＝2，

∴A（ 0，0，0），B（ ，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），

∴（0，1，1），（，0，1），

设平面EAC的一个法向量为（x，y，z），

则，

取x，得（，﹣3，3），

平面ACD的一个法向量为：（0，0，1），

设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，

则cosθ．

∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．

选择③∠ABC：

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，

∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，

∵E是BC的中点，∴BC⊥AE，

∴AE，AD，AP彼此两两垂直，

以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA＝AB＝2，

∴A（ 0，0，0），B（ ，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），

∴（0，1，1），（，0，1），

设平面EAC的一个法向量为（x，y，z），

则，

取x，得（，﹣3，3），

平面ACD的法向量（0，0，1），

设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，

θ则cosθ．

∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．