题目内容

已知点F是双曲线C：x2-y2=2的左焦点，直线l与双曲线C交于A、B两点，
（1）若直线l过点P（1，2），且
OA
+
OB
=2
OP
，求直线l的方程．
（2）若直线l过点F且与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，设
FB
=λ
FA
，当λ∈[6，+∞）时，求直线l的斜率k的取值范围．
设A（x1，y2），B（x2，y2），
（1）由A、B两点在双曲线上，得
x21
-
y21
=2
x22
-
y22
=2

作差：（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）即
y1-y2
x1-x2
=
x1+x2
y1+y2
，
由
OA
+
OB
=2
OP
，知
x1+x2=2
y1+y2=4

则直线l的斜率k=
1
2
，直线l的方程为y-2=
1
2
(x-1)即x-2y+3=0
易知直线l与双曲线有两个交点，方程x-2y+3=0即为所求，
（2）F（-2，0），由
FB
=λ
FA
，得
x2+2=λ(x1+2)
y2=λy1

设直线l：y=k（x+2），由
y=k(x+2)
x2-y2=2
，得（1-k2）y2-4ky+2k2=0．
∴△=16k2-8k2（1-k2）=8k2（1+k2）y1+y2=
4k
1-k2
，y1y2=
2k2
1-k2
．
由y2=λy1，y1+y2=
4k
1-k2
，y1y2=
2k2
1-k2
，消去y1，y2，
得
8
1-k2
=
(1+λ)2
λ
=λ+
1
λ
+2．
∵λ≥6，函数g(λ)=λ+
1
λ
+2在（1，+∞）上单调递增，
∴
8
1-k2
≥6+
1
6
+2=
49
6
，∴k2≥
1
49
．
又直线l与双曲线的两支相交，即方程（1-k2）y2-4ky+2k2=0两根同号，
∴k2＜1．
∴
1
49
≤k2＜1，故k∈(-1，-
1
7
]∪[
1
7
，1)．
练习册系列答案
相关题目
如图所示的曲线C是由部分抛物线C1：y=x2-1（|x|≥1）和曲线C2：x2+
y2
m
=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直线l与曲线C1相切于点M，与曲线C2相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）当t=
2
时，求m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求出此时直线l的方程．
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-
2
，0)，(
2
，0)，离心率是
6
3
，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P(1，
2
)，其离心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）直线l：y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为
2
，求m的值．
椭圆
x2
45
+
y2
20
=1的焦点分别为F1和F2，过原点O作直线与椭圆相交于A，B两点．若△ABF2的面积是20，则直线AB的方程是______．
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|的值为（　　）
A．
p
2
B．pC．
3p
2
D．2p
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
3
，直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C的交点为A，B，求弦长|AB|．
椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=
2
3
，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
直线L：
x
4
+
y
3
=1与椭圆E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个

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