题目内容

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,抛物线准线与x轴交于C点,若∠CBF=90°,则|AF|-|BF|的值为(  )
A.
p
2
B.pC.
3p
2
D.2p
假设k存在,设AB方程为:y=k(x-
p
2
),
与抛物线y2=2px(p>0)联立得k2(x2-px+
p2
4
)=2px,
即k2x2-(k2+2)px+
k2p2
4
=0
设两交点为A(x2,y2),B(x1,y1),
∵∠CBF=90°,∴(x1-
p
2
)(x1+
p
2
)+y12=0,
∴x12+y12=
p2
4
,∴x12+2px1-
p2
4
=0(x1>0),∴x1=
-2+
5
2
p

∵x1x2=
p2
4
,∴x2=
2+
5
2
p

∴|AF|-|BF|=(x2+
p
2
)-(x1+
p
2
)=2p,
故选D.
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