题目内容

【题目】已知定义在R上函数f(x)是可导的,f(1)=2,且f(x)+f'(x)<1,则不等式f(x)﹣1<e1x的解集是( )(注:e为自然对数的底数)
A.(1,+∞)
B.(﹣∞,0)∪(0,1)
C.(0,1)
D.(﹣∞,1)

【答案】A
【解析】解:根据题意,设F(x)=ex(f(x)﹣1),则F'(x)=ex[f(x)+f'(x)﹣1],

因为ex>0,由已知可得,F'(x)<0,即函数F'(x)是单调减函数,F(1)=e,

故f(x)﹣1<e1x,即F(x)<F(1),

则有x>1;

即不等式f(x)﹣1<e1x的解集是(1,+∞);

故选:A.

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.

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