Question

(2013·天津模拟)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－2(n∈N^*)，数列{b_n}满足b₁＝1，且点P(b_n，b_n＋1)(n∈N^*)在直线y＝x＋2上．
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
(2)求数列{a_n·b_n}的前n项和D_n．
(3)设c_n＝a_n·sin²－b_n·cos²(n∈N^*)，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

（1）a_n＝2a_n－1(n≥2)     b_n＝2n－1
（2）D_n＝(2n－3)2^n＋1＋6
（3）－2n²－n

(1)当n＝1时，a₁＝2，
当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2a_n－2a_n－1，
所以a_n＝2a_n－1(n≥2)，所以{a_n}是等比数列，公比为2，首项a₁＝2，所以a_n＝2ⁿ，
又点P(b_n，b_n＋1)(n∈N^*)在直线y＝x＋2上，所以b_n＋1＝b_n＋2，
所以{b_n}是等差数列，公差为2，首项b₁＝1，所以b_n＝2n－1．
(2)由(1)知a_n·b_n＝(2n－1)×2ⁿ，
所以D_n＝1×2¹＋3×2²＋5×2³＋7×2⁴＋…＋(2n－3)×2^n－1＋(2n－1)×2ⁿ，①
2D_n＝1×2²＋3×2³＋5×2⁴＋7×2⁵＋…＋(2n－3)×2ⁿ＋(2n－1)×2^n＋1．②
①－②得－D_n＝1×2¹＋2×2²＋2×2³＋2×2⁴＋…＋2×2ⁿ－(2n－1)×2^n＋1
＝2＋2×－(2n－1)×2^n＋1
＝(3－2n)2^n＋1－6，
则D_n＝(2n－3)2^n＋1＋6．
(3)c_n＝，
T_2n＝(a₁＋a₃＋…＋a_2n－1)－(b₂＋b₄＋…＋b_2n)
＝2＋2³＋…＋2^2n－1－[3＋7＋…＋(4n－1)]＝－2n²－n．