题目内容
【题目】已知集合是满足下列性质的函数
的全体:在定义域内存在实数
,使得
.
(1)判断函数(
为常数)是否属于集合
;
(2)若属于集合
,求实数
的取值范围;
(3)若,求证:对任意实数
,都有
属于集合
.
【答案】(1)属于;(2);(3)证明见解析
【解析】
(1)利用时,方程
,此方程恒成立,说明函数
(
为常数)属于集合
;
(2)由属于集合
,推出
有实数解,即方程
有实数解,分
和
两种情况,得到结果;
(3)当时,方程
有解,令
,则
在
上的图象是连续的,当
时,当
时,判定函数是否有零点,证明对任意实数
,都有
属于集合
.
(1)当时,方程
,
此方程恒成立,
所以函数(
为常数)属于集合
;
(2)由属于集合
,
可得方程有实数解,
即,整理得方程
有实数解,
当时,方程有实根
,
当时,有
,
解得或
,
综上,实数的取值范围为
;
(3)当时,方程
有解,
等价于有解,
整理得有解,
令,则
在
上的图象是连续的,
当时,
,
故在
上有一个零点,
当时,
,
故在
上至少有一个零点,
故对任意的实数,
在
上都有零点,即方程
总有解,
所以对任意实数,都有
属于集合
.
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