Question

1．已知a＜0，函数f（x）=x²-a|x-1|，g（x）=|x-a|，试讨论两函数图象公共点的个数．

Answer 1

分析 两函数图象公共点的个数可化为方程x²-a|x-1|=|x-a|的解的个数，讨论去绝对值号，从而结合二次函数的性质讨论解的个数即可．

解答 解：由题意，
x²-a|x-1|=|x-a|，
①当x≥1时，
x²-a（x-1）=x-a，
即x²-（a+1）x+2a=0，
∵a＜0，可知方程有一正一负两个解，
且1-（a+1）+2a=a＜0，
∴x²-（a+1）x+2a=0在x≥1时有一个解，
②当a＜x＜1时，
x²+a（x-1）=x-a，
即x²+（a-1）x=0，
故x=0或x=1-a（舍去）；
③当x≤a时，
x²+a（x-1）=a-x，
即x²+（a+1）x-2a=0，
当△=（a+1）²+8a＜0，即-5-2$\sqrt{6}$＜a＜-5+2$\sqrt{6}$时，
方程无解，
当a=-5+2$\sqrt{6}$时，方程解为x=2-$\sqrt{6}$＜-5+2$\sqrt{6}$；
当-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0时，
方程x²+（a+1）x-2a=0有两个负根，
且可知-$\frac{a+1}{2}$＜a，a²+a（a+1）-2a=a（2a-1）＞0，
故方程x²+（a+1）x-2a=0在x≤a上有两个不同的解，
当a≤-5-2$\sqrt{6}$时，方程的解大于0，
综上所述，
当a＜-5+2$\sqrt{6}$时，函数f（x）=x²-a|x-1|与g（x）=|x-a|有两个交点，
当a=-5+2$\sqrt{6}$时，函数f（x）=x²-a|x-1|与g（x）=|x-a|有三个交点，
当-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0时，函数f（x）=x²-a|x-1|与g（x）=|x-a|有四个交点．

点评 本题考查了函数的图象的交点与方程的根的关系应用及分类讨论的思想应用，讨论比较复杂，属于难题．