题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，
分别为
的上、下顶点且
为外的动点，且
到上点的最近距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当
时，设直线
分别与椭圆交于
两点，若
的面积是
的面积的
倍，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题（1）求椭圆标准方程，关键是列出两个独立条件，解对应方程组即可，本题关键是转化条件：
到
上点的最近距离为
，再结合离心率可得
，
（2）求最值问题，首先将研究对象转化为一元函数：
，再将直线方程与椭圆方程联立，解出对应点坐标，
，
，代入化简得
，最后根据导数或基本不等式求最值
试题解析：（1）由于
到椭圆上点的最近距离，∴，
又
，解得，
所以椭圆方程为
（2）解法一：
，
直线
方程为：
，联立
，得，
所以
到
的距离
，
直线
方程为：
，联立
，得，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，
令
，则
，
当且仅当
，即
时，取“
”，所以
的最大值为
解法二：直线方程为，联立，得，
直线方程为：，联立
，得，
，
令，则，
当且仅当，即
时，取“”，
所以的最大值为
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