题目内容
【题目】如图,底面是等腰梯形,
,点
为
的中点,以
为边作正方形
,且平面
平面
.
(1)证明:平面平面
.
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先证明四边形是菱形,进而可知
,然后可得到
平面
,即可证明平面
平面
;
(2)记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面ABF和DBF的法向量
,然后由
,可求出二面角
的余弦值,进而可求出二面角的正弦值.
(1)证明:因为点为
的中点,
,所以
,
因为,所以
,所以四边形
是平行四边形,
因为,所以平行四边形
是菱形,所以
,
因为平面平面
,且平面
平面
,所以
平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.由题意可知AC,BE,OP两两垂直,故以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为底面ABCD是等腰梯形,,所以四边形ABCE是菱形,且
,
所以,
则,设平面ABF的法向量为
,
则,不妨取
,则
,
设平面DBF的法向量为,
则,不妨取
,则
,
故.
记二面角的大小为
,故
.
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