Question

【题目】已知椭圆，四点，，，中恰有三个点在椭圆C上，左、右焦点分别为F1、F2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过左焦点F1且不平行坐标轴的直线l交椭圆于P、Q两点，若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x＝﹣3于点M，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由椭圆的对称性可得P2，P3，P4在椭圆上，进而求出椭圆的方程；

（2）由（1）可得F1的坐标，由题意设直线l的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出PQ的中点N的坐标，再由直线ON与x＝﹣3，求出M的坐标，进而求出的表达式，换元由二次函数配方可得其最大值．

解：（1）由椭圆的对称性易知，关于y轴对称，

一定都在椭圆上．所以一定不在椭圆上．

根据题意也在椭圆上，

将，带入椭圆方程，解得椭圆方程为；

（2）设直线l方程为y＝k（x+2）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立，可得（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6＝0；

则 ＝24（k2+1）＞0，且，，

设PQ的中点N（x0，y0），则，，

∴N坐标为，，；

因此直线ON的方程为，从而点M为，又F1（﹣2，0），

所以，令u＝3k2+1≥1，

则，

因此当u＝4，即k＝±1时h（u）最大值为3．

所以取得最大值．