Question

已知A、B、C是三角形的三个内角
（Ⅰ）若满足3sinB-sin（2A+B）=0，tan2

A

2

+4tan

A

2

-1=0，求角C的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当c=

2

时求a²+b²的最小值．

Answer 1

（1）由3sinB-sin（2A+B）=0，得3sin（A+B-A）=sin（A+B+A），
即3sin（A+B）cosA-3cos（A+B）sinA=sin（A+B）cosA+cos（A+B）sinA，即tanC=-2tanA，
由tan²

A

2

+4tan

A

2

-1=0，得到tanA=

2tan A 2

1-tan2 A 2

=

1

2

，即tanC=-1，
∵C三角形的内角，∴C=135°；
（2）由余弦定理得：a²+b²=c²+2abcos135°=2-

2

ab≥2+

2 (a2+b2)

2

，
解得：a²+b²的最小值4+2

2

．．