题目内容
【题目】如图,某地三角工厂分别位于边长为2的正方形的两个顶点
及
中点
处.为处理这三角工厂的污水,在该正方形区域内(含边界)与
等距的点
处建一个污水处理厂,并铺设三条排污管道
,记辅设管道总长为
千米.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设,将
表示成
的函数;
(ii)设,将
表示成
的函数;
(2)请你选用一个函数关系,确定污水厂位置,使铺设管道总长最短.
【答案】(1)(i)(
,其中
).(ii)
.
(2)污水厂设在与直线距离
处
【解析】
(1)(i)设的中点为
,则
,
,
,
,由此可得
关于
的函数;
(ii)由题意,则
,
,由此可得
关于
的函数;
(2)设,
,则
,然后利用基本不等式求最值.
解:
(1)(i)设中点
,则
,
,
,
,
∴(
,其中
);
(ii),
,
;
(2)设,
,则
,
,
当,即
时,
取最小值
,
∴污水厂设在与直线距离
处时,铺设管道总长最短,最短长度为
千米.
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