题目内容
【题目】已知函数,其中
为常数.
(1)若,求函数
的极值;
(2)若函数在
上单调递增,求实数
的取值范围;
(3)若,设函数
在
上的极值点为
,求证:
.
【答案】(1)当时,
的极大值为
,无极小值;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)求导,利用导函数的符号变化得到函数的单调性,进而得到函数的极值;(2)求导,将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立,分离参数,构造函数,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题;(3)连续两次求导,分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值,再作差构造函数,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,再利用求导进行求解.
试题解析:(1)当时,
,定义域为
,
,令
,得
.
极大值 |
当
时,
的极大值为
,无极小值.
(2),由题意
对
恒成立.
,
,
对
恒成立,
对
恒成立.
令,
,则
,
①若,即
,则
对
恒成立,
在
上单调递减,
则,
,
与
矛盾,舍去;
②若,即
,令
,得
,
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
当
时,
,
.综上
.
(3)当时,
,
,
令,
,
则
,令
,得
,
①当时,
,
单调递减,
,
恒成立,
单调递减,且
.
②当时,
,
单调递增,
又
,
存在唯一
,使得
,
,
当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,且
,
由①和②可知, 在
单调递增,在
上单调递减,
当
时,
取极大值.
,
,
,
又,
,
.
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