Question

12．设集合A={x|2（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）²-7log2x+3≤0}，若当x∈A时，函数f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

分析 解对数不等式可得A=[$\sqrt{2}$，8]，令t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，则y=f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$=t²-（a+2）t+2a，结合函数的最大值为2和二次函数的图象和性质，可是答案．

解答 解：令t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，
则2（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）²-7log₂x+3≤0，可化为：2（log₂x）²-7log₂x+3≤0，即2t²-7t+3≤0，即
解得：t=log₂x∈[$\frac{1}{2}$，3]，
即x∈[$\sqrt{2}$，8]，
即A=[$\sqrt{2}$，8]，
函数f（x）=log₂$\frac{x}{{2}^{a}}$•log₂$\frac{x}{4}$=（log₂x-a）（log₂x-2）=（t-a）（t-2）=t²-（a+2）t+2a的图象是开口朝上，且以直线t=$\frac{1}{2}$（a+2）为对称轴的抛物线，
由x∈A得：
当$\frac{1}{2}$（a+2）≤$\frac{\frac{1}{2}+3}{2}$，即a≤$\frac{3}{2}$时，函数f（x）的最大值3-a=2，解得a=1，
当$\frac{1}{2}$（a+2）＞$\frac{\frac{1}{2}+3}{2}$，即a＞$\frac{3}{2}$时，函数f（x）的最大值$\frac{3}{2}$a-$\frac{3}{4}$=2，解得a=$\frac{11}{6}$，
综上可得a=1，或a=$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，二次函数的图象和性质，对数不等式的解法，难度中档．