Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：OM∥平面PAB；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（3）当三棱锥M-BCD的体积等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$时，求PB的长．

Answer 1

分析 （1）在△PBD中，由O、M分别是BD、PD的中点，利用三角形中位线定理可得：OM∥PB，再利用线面平行的判定定理可得：OM∥平面PAB；
（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD，由于底面ABCD是菱形，可得AC⊥BD．利用线面面面垂直的判定定理与性质定理即可证明；
（3）由底面ABCD是菱形，M是PD的中点，可得V_M-BCD=$\frac{1}{2}{V}_{M-ABCD}$=$\frac{1}{4}{V}_{P-ABCD}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得V_P-ABCD=$\sqrt{3}$．可得PA=$\frac{3}{2}$．再利用勾股定理可得PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$，即可得出．

解答 （1）证明：在△PBD中，∵O、M分别是BD、PD的中点，
∴OM∥PB，又OM?平面PAB，PB?平面PAB，
∴OM∥平面PAB；
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC；
（3）解：∵底面ABCD是菱形，M是PD的中点，
∴V_M-BCD=$\frac{1}{2}{V}_{M-ABCD}$=$\frac{1}{4}{V}_{P-ABCD}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_P-ABCD=$\sqrt{3}$．S_ABCD=$2×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=2$\sqrt{3}$．
∴$\frac{1}{3}PA•{S}_{ABCD}$=$\sqrt{3}$，
∴PA=$\frac{3}{2}$．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，
∴PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、菱形的性质、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．