Question

【题目】已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N+)和2个白球,从中有放回地连续摸三次,每次摸出2个球,若2个球颜色不同则为中奖,否则不中奖.

(1)当n=3时,设三次摸球中中奖的次数为X,求随机变量X的分布列;

(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P,求当n取多少时,P的值最大.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1或2

【解析】

（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率p==，设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．分别求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．

（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为P（ζ=2）=p2（1﹣p）=﹣3p3+3p2，0＜p＜1，由此利用导数性质能求出n为1或2时，P有最大值．

（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，

； ；

；；

ξ分布列为：

ξ	0	1	2	3
p

（2）设每次摸奖中奖的概率为p，

则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：

，0＜p＜1，

P'=﹣9p2+6p=﹣3p（3p﹣2），知在上P为增函数，在上P为减函数，

当时P取得最大值．

又，

故n2﹣3n+2=0，解得：n=1或n=2，

故n为1或2时，P有最大值．