题目内容
【题目】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（
）,且点F（
，0）为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线与椭圆C交于B,D两点,满足
,且原点到直线l的距离为？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
；(2)不存在符合条件的直线.
【解析】
(1)求出左焦点的坐标,求出
到左焦点距离,再求出到右焦点的距离,最后利用椭圆的定义求出椭圆方程；
(2)假设存在这样的直线,设出直线的方程, 原点到直线l的距离为
,可得到等式,该直线方程与椭圆方程联立,根据根的判别式,可以计算出直线l的斜率的取值范围,把向量式子
用数量积的坐标表示公式化简,结合根与系数关系可求出该直线的斜率,检验该值在不在斜率的取值范围中,最后再考虑直线不存在斜率的情况,这样就可以得出正确结论.
(1)设椭圆C的方程为
，则左焦点为
，
在直角三角形
中，可求
，∴
，
故椭圆C的方程为．
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为
，由原点到l的距离为得：
．
联立方程
，得
．
则
，
，
．
设
，
，
则
，
解得．
当斜率不存在时l的方程为
，易求得
.
综上，不存在符合条件的直线.
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附：
，
，
，
.
