Question

19．已知函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）若f（1）=2，求f（99）的值；
（3）若当x∈[0，2]时，f（x）=x，试求x∈[4，8]时函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由条件f（x）•f（x+2）=13，便可得到f（x）=$\frac{13}{f（x+2）}$，从而f（x+2）=$\frac{13}{f（x+4）}$，这样即可得出f（x）=f（x+4），从而得到f（x）是周期为4的周期函数；
（2）根据f（x）的周期为4，将99写成99=3+24•4，从而f（99）=f（3）=$\frac{13}{f（5）}$，而f（5）=f（1）=2，从而得出f（99）的值；
（3）设x∈[4，8]，求f（x）在该区间的解析式，需用上条件：x∈[0，2]时，f（x）=x，从而可考虑能否将x的所在区间[4，8]变到[0，2]：x-4∈[0，4]，这样进一步分成x-4∈[0，2]，；x-4∈[2，4]，x-4-2∈[0，2]，这样根据f（x）的周期为4及其已知的条件即可得出f（x）在区间[4，8]上的解析式．

解答 解：（1）证明：f（x）•f（x+2）=13；
∴f（x）=$\frac{13}{f（x+2）}$=$\frac{13}{\frac{13}{f（x+4）}}$=f（x+4）；
∴f（x）是以4为周期的周期函数；
（2）$f（99）=f（3+24•4）=f（3）=\frac{13}{f（5）}$=$\frac{13}{f（1+4）}=\frac{13}{f（1）}=\frac{13}{2}$；
（3）设x∈[4，8]，则x-4∈[0，4]；
①若x-4∈[0，2]，即x∈[4，6]，则：
f（x）=f（x-4）=x-4；
②若x-4∈（2，4]，即x∈（6，8]，则：
x-4-2∈（0，2]；
∴$f（x-6）=f（x-2）=f（x+2）=\frac{13}{f（x）}=x-6$；
∴$f（x）=\frac{13}{x-6}$；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x-4}&{x∈[4，6]}\\{\frac{13}{x-6}}&{x∈（6，8]}\end{array}\right.$．

点评 考查由条件f（x）=$\frac{13}{f（x+2）}$能得到f（x+2）=$\frac{13}{f（x+4）}$，周期函数的定义，以及根据周期函数的定义求函数值，掌握本题中将x所在区间[4，8]变到已知区间[0，2]上，从而求解析式的方法．