Question

如图，四棱锥中，底面ABCD是菱形，SA=SD=

39

，AD=2

3

，且S-AD-B大小为120°，∠DAB=60°．
（1）求异面直线SA与BD所成角的正切值；
（2）求证：二面角A-SD-C的大小．

Answer 1

（1）过A作AO∥BD交CD的延长线于点O，连接BO交AD于点E，再连接OS，
∴∠SAO是异面直线SA与所成的角．…（2分）
∵OABD是平行四边形，∴E是AD的中点．
∵SA=SD=

39

，∴SE⊥AD，
又∵底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，
∴BE⊥AD，
∴∠SEB是二面角S-AD-B的平面角，即∠SEB=120°，
∴∠SEO=60°．…（4分）
∵SA=SD=

39

，AD=2

3

，
∴SE=6，OE=BE=3，
∴在△SEO中由余弦定理可得：SO2=SE2+OE2-2SE•OE•cos60°⇒SO=3

3

．
在△SOA中，SO=3

3

，SA=

39

，OA=2

3

，SO2+OA2=SA2⇒SO⊥OA，
∴tan∠SAO=

OS

OA

=

3 3

2 3

=

3

2

；…（6分）
所以异面直线SA与BD所成角的正切值为

3

2

．
（2）在△SOE中，SO=3

3

，SE=6，OE=3，SO2+OE2=SE2⇒SO⊥OE
由（1）可得：在△SOA中，SO⊥OA，
∴SO⊥平面ABCD，SO?平面SOC
故平面SOC⊥平面ABCD，…（8分）
过A作AF⊥OD，

∴AF⊥平面SOD，
作AN⊥SD，并且交SD与点N，连FN，
∴由三垂线定理可得：FN⊥SD，
∴根据二面角的平面角的定义可得：∠FNA为二面角A-SD-O的平面角…（10分）
由题意可得：AF=ADsin60°=3，
在△SAD中根据等面积可得：

1

2

×AD×SE=

1

2

×SD×AN，即

1

2

×2

3

×6=

1

2

×

39

×AN，
所以AN=

12 3

39

=

12 13

13

，
所以sin∠FNA=

AF

AN

=

3

12 13 13

=

13

4

．
故二面角A-SD-C的大小为π-arcsin

13

4

．…（12分）