Question

6．在平面直角坐标系xOy中，A、B、C构成直角三角形，∠A=90°，斜边端点B，C的坐标分别为（-2，0）和（2，0），设斜边BC上高线的中点为M，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出M坐标，由中点坐标公式得到A的坐标，进一步求得$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的坐标，代入$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，整理得答案．

解答 解：设M（x，y），则A点的坐标为（x，2y），
根据∠A=90°，可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，
又B（-2，0），C（2，0），∴$\overrightarrow{AB}$=（-2-x，2y），$\overrightarrow{AC}$=（2-x，2y），
代入$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，得：（-2-x，2y）•（2-x，2y）=（-2-x）（2-x）+4y²=0，
化简可得：x²-4+4y²=0，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
又∵A，B，C构成三角形不能共线，∴y≠0，
故动点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1（y≠0）$．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了向量在求解轨迹方程中的应用，是中档题．