Question

【题目】已知不恒为零的函数f（x）在定义域[0，1]上的图象连续不间断，满足条件f（0）=f（1）=0，且对任意x1 ， x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤ |x1﹣x2|，则对下列四个结论： ①若f（1﹣x）=f（x）且0≤x≤ 时，f（x）= x（x﹣ ），则当 ＜x≤1时，f（x）= （1﹣x）（ ﹣x）；
②若对x∈[0，1]都有f（1﹣x）=﹣f（x），则y=f（x）至少有3个零点；
③对x∈[0，1]，|f（x）|≤ 恒成立；
④对x1 ， x2∈[0，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤ 恒成立．
其中正确的结论个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由f（1﹣x）=f（x）得函数f（x）图象关于直线x= 对称， 若0≤x≤ 时，f（x）= x（x﹣ ），则当 ＜x≤1时，f（x）= （1﹣x）（ ﹣x），故①正确；
∵f（1﹣x）=﹣f（x），故函数图象关于（ ，0）对称，
又由f（0）=f（1）=0，
故函数f（x）至少有3个零点0， ，1．故②正确；
∵当0≤x≤ 时，|f（x）|≤ x≤ ；
当 ＜x≤1时，则1﹣x≤ ，
|f（x）|=|f（x）﹣f（1）|≤ （1﹣x）≤ = ．
∴x∈[0，1]，|f（x）|≤ 恒成立，故③正确，
设x1 ， x2∈[0，1]，当|x1﹣x2|≤ 时，|f（x1）﹣f（x2）|≤ |x1﹣x2|≤ ，
当|x1﹣x2|＞ 时，|f（x1）﹣f（x2）|=|f（x1）﹣f（0）+f（1）﹣f（x2）|
≤|f（x1）﹣f（0）|+|f（1）﹣f（x2）|≤ |x1﹣0|+ |1﹣x2|
= ×1+ （1﹣x2）= ﹣ （x2﹣x1）≤ ﹣ × = ．故④正确
故选D．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．