Question

【题目】解答
（1）已知实数a，b满足|a|＜2，|b|＜2，证明：2|a+b|＜|4+ab|；
（2）已知a＞0，求证： ﹣ ≥a+ ﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）证明：证法一∵|a|＜2，|b|＜2，∴a2＜4，b2＜4，

∴4﹣a2＞0，4﹣b2＞0．∴（4﹣a2）（4﹣b2）＞0，即16﹣4a2﹣4b2+a2b2＞0，

∴4a2+4b2＜16+a2b2，∴4a2+8ab+4b2＜16+8ab+a2b2，

即（2a+2b）2＜（4+ab）2，

∴2|a+b|＜|4+ab|．

证法二：要证2|a+b|＜|4+ab|，

只需证4a2+4b2+8ab＜16+a2b2+8ab，

只需证4a2+4b2＜16+a2b2，

只需证16+a2b2﹣4a2﹣4b2＞0，即（4﹣a2）（4﹣b2）＞0．

∵|a|＜2，|b|＜2，∴a2＜4，b2＜4，

∴（4﹣a2）（4﹣b2）＞0成立．

∴要证明的不等式成立

（2）证明：要证 ﹣ ≥a+ ﹣2，

只需证 +2≥a+ + ，

只需证a2+ +4+4 ≥a2+ +2+2 +2，

即证2 ≥ ，

只需证4 ≥2 ，

即证a2+ ≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．

【解析】（1）法一：根据综合法证明即可；法二：根据分析法证明即可；（2）根据分析法证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．