Question

【题目】设椭圆C： =1（a＞b＞0），椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2= 相切，且抛物线y2=﹣4 x的准线恰好过椭圆C的一个焦点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A，B两点，连接PO并延长交圆O于点Q，求△ABQ面积的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2= 相切， 所以 ，
又抛物线y2=﹣4 其准线方程为x= ，
因为抛物线y2=﹣4 的准线恰好过椭圆C的一个焦点，
所以c= ，从而a2﹣b2=c2=2
两式联立，解得b2=2，a2=4，
所以椭圆C的方程为：
①当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为l：x= ，
则A（ ， ），B（ ，﹣ ），P（ ，0），所以Q（﹣ ，0），
从而S△ABQ= |PQ||AB|= =
②当直线l的斜率存在时，设其方程设为y=kx+m，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
联立方程组 ，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
△=（4mk）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）=8（4k2﹣m2+2）＞0，
即4k2﹣m2+2＞0

因为直线与圆相切，所以d= = ，∴3m2=4（1+k2）
|AB|= =
=
=
当k≠0时，|AB|= = ，
因为4k2+ ，
所以1＜1+ ，所以 ．
因为PQ圆O的直径，所以S△ABQ= |PQ||AB|= = ．
所以 ＜S△ABQ≤2 ．
k=0时，S△ABQ= |PQ||AB|= × × =
综上可得△ABQ面积的取值范围为[ ，2 ]
【解析】（Ⅰ）利用椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2= 相切，推出 ，以及c= ，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，求出A、B、P、Q坐标，然后求解S△ABQ ． ②当直线l的斜率存在时，设其方程设为y=kx+m，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立 ，消去y利用韦达定理判别式以及弦长公式，点到直线的距离，求出S△ABQ= |PQ||AB利用基本不等式求解最值，然后推出结果．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．