Question

12．已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式f（x）≥3-2a，对x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，不等式即|x+1|+|x-1|≤5，再利用绝对值的意义求得它的解集．
（2）由题意可得|x-a|≥2-2a-x恒成立，数形结合求得a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤5，即|x+1|+|x-1|≤5．
而|x+1|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-1、1对应点的距离之和，
由于-2.5和2.5对应点到-1、1对应点的距离之和正好等于5，
故|x+1|+|x-1|≤5的解集为[-2.5，2.5]．
（2）由于当x∈[1，2]时，f（x）=|x+1|+|x-a|≥3-2a恒成立，
即x+1+|x-a|≥3-2a恒成立，即|x-a|≥2-2a-x恒成立．
故有函数y=|x-a|的图象在[1，2]上不能位于y=2-2a-x的下方，
如图所示：
故有|a-a|≥2-2a-a，∴a≥$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．