Question

【题目】已知函数f（x）=sin2x﹣ sinxcosx+ ，g（x）=mcos（x+ ）﹣m+2
（1）若对任意的x1 ， x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2），求m的取值范围；
（2）若对任意的x∈[0，π]，均有f（x）≥g（x），求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=sin2x﹣ sinxcosx+

= ﹣ sin2x+

=﹣（ cos2x+ sin2x）+1

=﹣cos（2x﹣ ）+1，

当x∈[0，π]时，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴cos（2x﹣ ）∈[﹣1，1]，

∴f（x）∈[0，2]；

对于g（x）=mcos（x+ ）﹣m+2（m＞0），

x+ ∈[ ， ]，

mcos（x+ ）∈[﹣m， m]，

∴g（x）∈[﹣2m+2，2﹣ m]，

若对任意x1，x2∈[0，π]，使得f（x1）≥g（x2）成立，

可得：0≥2﹣ ，可得m≥4．

（2）对任意的x∈[0，π]，均有f（x）≥g（x），

即：f（x）﹣g（x）=﹣cos（2x﹣ ）+1﹣mcos（x+ ）+m﹣2

=cos（2x ）﹣mcos（x+ ）+m﹣1

=2cos2（x+ ）﹣mcos（x+ ）+m﹣2

=2[cos（x+ ）﹣ ]2﹣ +m﹣2≥0，

∵x+ ∈[ ， ]，

∴cos（x+ ）∈[﹣1， ]，

当 即：﹣4≤m≤2时，﹣ +m﹣2≥0，解得m=4．无解．

当 即m＞2时，cos（x+ ）= 可得： ，解得m≥3，

当 即m＜﹣4时，cos（x+ ）=﹣1可得：2+m+m﹣2≥0，解得m≥0，无解，

综上m的取值范围为[3，+∞）．

【解析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出两个函数的最值，列出不等式求解即可，（2）转化不等式为：函数恒成立，通过余弦函数的范围列出关系式，然后求解即可.