题目内容

9.已知椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于$\frac{4}{5}$,则椭圆E的离心率的取值范围是(  )
A.(0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$]B.(0,$\frac{3}{4}$]C.[$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1)D.[$\frac{3}{4}$,1)

分析 如图所示,设F′为椭圆的左焦点,连接AF′,BF′,则四边形AFBF′是平行四边形,可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a.取M(0,b),由点M到直线l的距离不小于$\frac{4}{5}$,可得$\frac{|4b|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$$≥\frac{4}{5}$,解得b≥1.再利用离心率计算公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$即可得出.

解答 解:如图所示,设F′为椭圆的左焦点,连接AF′,BF′,则四边形AFBF′是平行四边形,
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a,∴a=2.
取M(0,b),∵点M到直线l的距离不小于$\frac{4}{5}$,∴$\frac{|4b|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$$≥\frac{4}{5}$,解得b≥1.
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\sqrt{1-\frac{1}{{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴椭圆E的离心率的取值范围是$(0,\frac{\sqrt{3}}{2}]$.
故选:A.

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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