题目内容
【题目】定义在上的函数
满足
,且
.当
时,
.
(1)求在
上的解析式;
(2)证明在
上是减函数;
(3)当取何值时,方程
在
上有解.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
,或
,或
.
【解析】试题分析:(1)设,则
结合f(-x)=-f(x),及x∈(0,1)时,
,,可求x∈(-1,0)时得f(x),在f(-x)=-f(x)中可求f(0)=0
(2)利用函数的单调性的定义证明即可.
(3)方程在
上有解的充要条件是,
在函数
,
的值域内取值,只需求出函数的值域,然后求解k的范围.
试题解析:
(1)设,则
.
∵,且
时,
,
∴时,有
.
在中,令
得
.
∵,
,令
,
得,
∴,从而
,
∴当时,有
.
(2)设,则
,
.
∵,∴
,
∴,且
,
∴,
.
又∵,
∴,
即,∴
在
上是减函数.
(3)方程在
上有解的充要条件是,
在函数
,
的值域内取值.
∵时,
是减函数,
∴时,
,
即.
∵,∴
时,
.
又,
∴时,函数
的值域为
.
∴当,或
,或
时,方程
在
上有解.
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6至10个 | 30 | 0.3 |
11至15个 | 30 | 0.3 |
16至20个 | a | c |
20个以上 | 5 | b |
合计 | 100 | 1 |
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)以这100个人的样本数据估计武汉市的总体数据且以频率估计概率,若从全市大学生(数量很大)中随机抽取3人,记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数,求X的分布列和数学期望.