题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
平面
,
,
,
,
,
是
的中点,
是
的中点.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)是线段
上一点,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)连结交
于
,连结
,
,可证得四边形
为平行四边形,即
,即得解;
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,可证得为直线
与平面
所成角,可得
,分别求解平面
,平面
的法向量,利用二面角的向量公式,即得解.
(Ⅰ)连结交
于
,连结
,
∵,
,∴
,
.
又,
,
∴,因此,四边形
为平行四边形,即
∵面
,
面
,∴
平面
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,如图,过
作
,连结
∵面
,
面
,∴
∵,
,∴
面
∵面
,∴面
面
,
∵面
,
,面
面
,
面
,
即为直线
与平面
所成角,记为
,
,∴
,
在中,
,∴
,
,
,
,
,
设平面的法向量
,
,取
,
平面的法向量
,
因此,二面角的余弦值
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