Question

（本题满分12分）
设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.
（1）求函数的解析式；
（2）试写出一个区间，使得当时，且数列是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有
 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）由恒成立等价于恒成立 ……1分
从而得：，化简得，从而得，
所以，                                            ………3分
（2）解：若数列是递增数列，则即：
 ………5分又当时，，
所以有且，所以数列是递增数列。       …………7分
注：本题的区间也可以是、、、………，等无穷多个.
（3）由（2）知，从而；
，
即；                                        ………8分
令，则有且；
从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，         
从而得，即，
所以 ，                          ……………………10分
所以，所以，
所以，
.………………………11分
即，所以，恒成立
（1）  当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。
（2）  当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。
所以，对任意，有。又非零整数，…………………12分

略