题目内容
(本题满分12分)
设二次函数
,对任意实数
,有
恒成立;数列
满足
.
(1)求函数
的解析式;
(2)试写出一个区间
,使得当
时,
且数列
是递增数列,并说明理由;
(3)已知
,是否存在非零整数
,使得对任意
,都有

恒成立,若存在,求之;若不存在,说明理由.
设二次函数





(1)求函数

(2)试写出一个区间




(3)已知





解:(1)由
恒成立等价于
恒成立 ……1分
从而得:
,化简得
,从而得
,
所以
, ………3分
(2)解:若数列
是递增数列,则
即:

………5分又当
时,
,
所以有
且
,所以数列
是递增数列。 …………7分
注:本题的区间也可以是
、
、
、………,等无穷多个.
(3)由(2)知
,从而
;
,
即
; ………8分
令
,则有
且
;
从而有
,可得
,所以数列
是
为首项,公比为
的等比数列,
从而得
,即
,
所以
, ……………………10分
所以
,所以
,
所以,
.………………………11分
即

,所以,
恒成立
(1) 当
为奇数时,即
恒成立,当且仅当
时,
有最小值
为。
(2) 当
为偶数时,即
恒成立,当且仅当
时,有最大值
为。
所以,对任意
,有
。又
非零整数,
…………………12分


从而得:



所以

(2)解:若数列






所以有



注:本题的区间也可以是



(3)由(2)知



即

令



从而有





从而得


所以

所以


所以,


即




(1) 当






(2) 当





所以,对任意




略

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