题目内容
【题目】如图所示的几何体中,是菱形,
,
平面
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求平面与平面
构成的二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取中点
,连结
,设
交
于
,连结
,
,先证明
,
,可证得
平面
,又
,故
平面
,即得证.
(2)如图所示的空间直角坐标系,求解平面与平面
的法向量,利用二面角的向量公式即得解.
(1)证明:取中点
,连结
,设
交
于
,连结
,
,
在菱形中,
,
∵平面
,
平面
,∴
,
又,
,
平面
,∴
平面
,
∵,
分别是
,
的中点,∴
,
,
又,
,∴
,且
,
∴四边形是平行四边形,则
,∴
平面
,
又平面
,∴平面
平面
.
(2)由(1)中证明知,平面
,则
,
,
两两垂直,以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由及
是菱形,
得,
,
,则
,
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
取,求得
,所以
,
同理,可求得平面的一个法向量为
,
设平面与平面
构成的二面角的平面角为
,则
,又
,
,
∴,
∴平面与平面
构成的二面角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目