题目内容

【题目】如图所示的几何体中,是菱形,平面.

1)求证:平面平面

2)求平面与平面构成的二面角的正弦值.

【答案】1)证明见解析;(2.

【解析】

1)取中点,连结,设,连结,先证明

,可证得平面,又,故平面,即得证.

2)如图所示的空间直角坐标系,求解平面与平面的法向量,利用二面角的向量公式即得解.

1)证明:取中点,连结,设,连结

在菱形中,

平面平面

平面平面

分别是的中点,

,且

四边形是平行四边形,则平面

平面平面平面.

2)由(1)中证明知,平面,则两两垂直,以

所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.

是菱形,

得,,则

设平面的一个法向量为

,即

,求得,所以

同理,可求得平面的一个法向量为

设平面与平面构成的二面角的平面角为,则

,又

平面与平面构成的二面角的正弦值为.

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