题目内容
【题目】如图所示的几何体中,是菱形,,平面,,.
(1)求证:平面平面;
(2)求平面与平面构成的二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取中点,连结,设交于,连结,,先证明,
,可证得平面,又,故平面,即得证.
(2)如图所示的空间直角坐标系,求解平面与平面的法向量,利用二面角的向量公式即得解.
(1)证明:取中点,连结,设交于,连结,,
在菱形中,,
∵平面,平面,∴,
又,,平面,∴平面,
∵,分别是,的中点,∴,,
又,,∴,且,
∴四边形是平行四边形,则,∴平面,
又平面,∴平面平面.
(2)由(1)中证明知,平面,则,,两两垂直,以,
,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由及是菱形,
得,,,则,
,,,
,,,
设平面的一个法向量为,
则,即,
取,求得,所以,
同理,可求得平面的一个法向量为,
设平面与平面构成的二面角的平面角为,则
,又,,
∴,
∴平面与平面构成的二面角的正弦值为.
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