题目内容
【题目】已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1、x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，且f（1）=0，则f（2017）=（ ）
A.4032
B.2016
C.2017
D.4034
【答案】A
【解析】解：f（1）=0， f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，
f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，
f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，
…
∴f（n）=2n﹣2．
用数学归纳法证明如下：
⑴当n=1时，f（1）=2×1﹣2=0，结论成立．
⑵假设n=k时，结论成立，即f（k）=2k﹣2，
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k﹣2+2=2k，
结论也成立，
由（1）、（2）知，f（n）=2n﹣2．
∴f（2017）=2×2017﹣2=4032．
故选：A．
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