Question

【题目】已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件，列出不等式组，求解，即可求解椭圆的椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，则直线，代入椭圆的方程，解得点的坐标，同理可得直线的方程，代入求解所以，即可求解点的坐标．

试题解析：（1）由题意，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题意知直线经过坐标原点，假设存在符合条件的点，则直线的斜率存在且大于零， ①

设直线的斜率为，则直线，

联立方程组，得，

所以 ②

同理可得直线的方程为 ③

将②③代入①式得，

化简得，所以

所以，

综上所述，存在符合条件的点