Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知直角坐标系中动点，参数，在以原点为极点、轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点在曲线： 上.

（1）求点的轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若动点的轨迹和曲线有两个公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）设点P的坐标为（x，y），消去参数α，得能求出点P的轨迹E的方程；由， ，能求出曲线C的方程；

（2）由已知得直线与圆相交，圆心（1，0）到直线ax﹣y+a=0，（a≠0）的距离小于半径1，由此能求出实数a的取值范围．

试题解析：

（1）设点的坐标为，则有

消去参数，可得，为点的轨迹的方程；

由曲线： ，得，且，

由， 故曲线的方程为： ；

（2）曲线的方程为： ，即

表示过点，斜率为的直线，动点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆

由轨迹和曲线有两个公共点，结合图形可得．