题目内容
【题目】(1)试比较与
的大小.
(2)若函数的两个零点分别为
,
,
①求的取值范围;
②证明:.
【答案】(1)答案见解析.(2)①.②证明见解析
【解析】
(1)设,然后利用导数求出
的单调性,然后结合函数值即可比较出大小;
(2)①利用导数求出的最小值即可;
②不妨设,则
,结合(1)中结论可推出
,
,然后可得
,将其分解因式可证明
.
(1)设,
则,
故在
上单调递减.
因为,
所以当时,
;当
时,
;当
时,
.
即当时,
;
当时,
;
当时,
.
(2)①因为,所以
,
令,得
;令
,得
,
则在
上单调递减,在
上单调递增,
故.
因为有两个零点,所以
,即
.
因为,
,
所以当有两个零点时,
的取值范围为
.
②证明:因为,
是
的两个零点,
不妨设,则
.
因为,
,
所以,
,
即,
,
则,即
,
即.
因为,所以
,则
,即
.
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