Question

【题目】已知椭圆和圆，、为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当直线与圆相切时，．

（I）求的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆和圆都相切，切点分别为、，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根据已知条件求得和的值，由此可得出椭圆的方程；

（Ⅱ）将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，并求出点的坐标，根据圆的切线的性质可得出直线的方程为，与直线的方程联立可求得点的坐标，求得直线与轴的交点的坐标，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值．

（Ⅰ）由题可知．①

设，则由与圆相切时，得，即．②

将①②代入，解得，所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）设点、，

将代入得．

由直线与椭圆相切得，即，且，

由直线与圆相切，设，与联立得，

设直线与轴交于点，则．

所以的面积为，

当且仅当时等号成立，

所以的面积的最大值为．