题目内容

【题目】已知数列的前项和为,且对一切正整数都有.

1)求证:

2)求数列的通项公式;

3)是否存在实数,使不等式,对一切正整数都成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.

【答案】1)证明见解析;(2;(3)存在;的取值范围是.

【解析】

1)由题得①,②,②-①即得

2)由题得.,再对分奇数和偶数两种情况讨论,求出数列的通项公式;

(3)令,判断函数的单调性,求出其最大值,解不等式即得解.

1)证明:∵①,

由②-①得

.

2)∵

,④

④-③,得.

从而数列的奇数项依次成等差数列,且首项为,公差为

数列的偶数项也依次成等差数列,且首项为,公差为.

在①中令,又∵,∴.

在③中令,∴.

∴当时,

∴当时,

综上所述,.

3)令,则

单调递减,

.

∴不等式对一切正整数都成立等价于对一切正整数都成立,

等价于,即.

,即

解之得,或.

综上所述,存在实数的适合题意,的取值范围是.

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