题目内容
【题目】已知函数
，
，函数
在点
处的切线与函数
相切.
（1）求函数
的值域；
（2）求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用导数求出曲线
在点
处的切线方程，与函数
的解析式联立，由
可求得
的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）要证明
，即证
，即证
，求出函数
的最小值，并利用导数求出函数
的最大值，由此可得出结论.
（1）切点
，
，则
，
.
所以，函数在点处的切线方程为
，即
.
函数在点处的切线与函数相切.
联立
，化为
，
，
，解得
.
，所以，函数的值域为
；
（2）要证，即证，即证.
设，，则函数
的定义域为
.
，
.
当
时，
，此时，函数单调递增；
当
时，
，此时，函数单调递减.
所以，函数的最大值为
.
所以，
，但是函数
的最小值和函数的最大值不在同一处取得，
因此，.
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【题目】2016年春节期间全国流行在微信群里发抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：
金额分组 |
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|
|
频 数 | 3 | 9 | 17 | 11 | 8 | 2 |
（1）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；
（2）估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（3）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．
①若红包金额在区间
内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；
②随机抽取手气红包金额在
内的两名幸运者，设其手气金额分别为
，
，求事件“
”的概率．
