Question

【题目】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中, CC1⊥平面ABC, AC⊥BC, AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E. 求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）AC⊥平面BCC1B1.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）由三角形中位线定理得，由线面平行的判定定理可得 平面；（2）CC1⊥平面ABC可得AC⊥CC1，由已知AC⊥BC，从而由线面垂直的判定定理可得结果.

试题解析：(1) 由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.

(2) CC1⊥平面ABC.

因为CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1.

因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，

BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.