题目内容

13．已知：（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*，n为常数）．
（1）求|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|；
（2）我们知道二项式（1+x）n的展开式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn．若该等式两边对x求导得：n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2…+nCnnxn-1，令x=1，可得Cn1+2Cn2+3Cn3…+nCnn=n•2n-1．利用此方法解答以下问题：
①求1a1+2a2+3a3+…+nan；
②求12a1+22a2+32a3+…+n2an．

分析 （1）|a0|+|a1|+|a3|+…+|an|即为（2x+1）n的各项系数和，令x=1可得要求式子的值．
（2）①对于（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*，n为常数），该等式两边对x求导，再令x=1得1a1+2a2+3a3+…+nan的值．
②将$2n{（2x-1）^{n-1}}={a_1}+2{a_2}x+3{a_3}{x^2}+…+n{a_n}{x^{n-1}}$两边同乘x，两边再对x求导再令x=1，即可求得${1^2}{a_1}+{2^2}{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{n^2}{a_n}$的值．

解答 解：（1）|a0|+|a1|+|a3|+…+|an|即为（2x+1）n的各项系数和，
令x=1，则|a0|+|a1|+|a3|+…+|an|=3n．
（2）①对于：（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*，n为常数），
该等式两边对x求导得：$2n{（2x-1）^{n-1}}={a_1}+2{a_2}x+3{a_3}{x^2}+…+n{a_n}{x^{n-1}}$，
令x=1得1a1+2a2+3a3+…+nan=2n．
②将$2n{（2x-1）^{n-1}}={a_1}+2{a_2}x+3{a_3}{x^2}+…+n{a_n}{x^{n-1}}$，
两边同乘x得2n（2x-1）n-1x=${a_1}x+2{a_2}{x^2}+3{a_3}{x^3}+…+n{a_n}{x^n}$，
两边再对x求导：2n[2（n-1）（2x-1）n-2x+（2x-1）n-1]=${a_1}+{2^2}{a_2}{x^1}+{3^2}{a_3}{x^2}+…+{n^2}{a_n}{x^{n-1}}$，
令x=1得${1^2}{a_1}+{2^2}{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{n^2}{a_n}$=4n2-2n．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
3．若|z|=3，且z+3i是纯虚数，则$\overline z$=-3i．
4．在△ABC中，已知tanA=$\frac{3}{4}$，tanB=2．
（1）求cosA，sinB的值；
（2）求tan（C-2A）的值．
1．给出的下列函数中在$（\frac{π}{2}，π）$上是增函数的是（　　）
A．y=sinxB．y=cosxC．y=sin2xD．y=cos2x
8．已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，
（Ⅰ）当a=2时，作出图形并写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a=-2时，求函数y=f（x）在区间$（-\sqrt{2}-1，2]$的值域；
（Ⅲ）设a＞0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．
18．在△ABC中，已知A=30°，c=2$\sqrt{3}$，a=2，则b=2或4．
5．命题：?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx≥2的否定是（　　）
A．?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx＜2B．?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx≥2
C．?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx≤2D．?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx＜2
2．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线BD上．
3．设数列{an}满足a1=2，an+1-an=3•4n（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网