题目内容

10.已知数列{an}中,a1=1,an=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+3}$,求通项an

分析 通过an=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+3}$写出数列前几项的值并猜想通项,利用数学归纳法证明即可.

解答 解:an=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+3}$=$\frac{{a}_{n-1}+3-4}{{a}_{n-1}+3}$=1-$\frac{4}{{a}_{n-1}+3}$,
∵a1=1,
∴a2=1-$\frac{4}{1+3}$=0,
a3=1-$\frac{4}{0+3}$=-$\frac{1}{3}$,
a4=1-$\frac{4}{-\frac{1}{3}+3}$=-$\frac{1}{2}$=-$\frac{2}{4}$,
a5=1-$\frac{4}{-\frac{1}{2}+3}$=-$\frac{3}{5}$,
a6=1-$\frac{4}{-\frac{3}{5}+3}$=-$\frac{2}{3}$=-$\frac{4}{6}$,
a7=1-$\frac{4}{-\frac{2}{3}+3}$=-$\frac{5}{7}$,
猜想:an=-$\frac{n-2}{n}$.
下面用数学归纳法来证明:
①当n=1时,显然成立;
②假设当n=k(k≥2)时,有ak=-$\frac{k-2}{k}$,
则ak+1=$\frac{{a}_{k}-1}{{a}_{k}+3}$=$\frac{-\frac{k-2}{k}-1}{-\frac{k-2}{k}+3}$=-$\frac{(k+1)-2}{k+1}$,
即当n=k+1时也成立;
由①、②可知:an=-$\frac{n-2}{n}$.
∴数列{an}的通项公式an=-$\frac{n-2}{n}$.

点评 本题考查数列的通项,考查数学归纳法,注意解题方法的积累,属于中档题.

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