Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知过点的动直线l与椭圆C交于 A，B 两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，结合 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、即可得结果；（2）设过点的直线 的方程为与椭圆交于,则整理得，根据韦达定理及平面向量数量积公式可将表示为的函数，消去可得，从而可得，存在以为直径的圆恒过定点 ，且定点的坐标为.

试题解析：（1）由题意，故， 又椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，所以，解得，，所以， 所以椭圆C的标准方程为.

（2）当直线l的斜率为0时，令，则，此时以AB为直径的圆的方程为．

当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为， 联立解得，即两圆过点．

猜想以AB为直径的圆恒过定点．

对一般情况证明如下：

设过点的直线l的方程为与椭圆C交于,

则整理得，

所以．

因为

，

所以．

所以存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.