题目内容
【题目】已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=900,BC=2,AC=,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。
【答案】(1)见解析;(2)600
【解析】
(Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D,由平面A1ACC1⊥平面ABC可得A1D⊥平面ABC,故∠A1AD即为A1A与平面ABC所成的角,解三角形可得∠A1AD=450即为所求.(Ⅱ)方法一:用几何法,作出两平面所成的二面角,解直角三角形可得所求角的大小.方法二:建立空间直角坐标系,求出两平面的法向量,借助两法向量夹角求出二面角的大小.
(Ⅰ)解:作A1D⊥AC,垂足为D,
∵平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC,
∴A1D⊥平面ABC,
∴∠A1AD即为A1A与平面ABC所成的角.
∵AA1⊥A1C,AA1=A1C,
∴ ∠A1AD=450,
∴侧棱A1A与底面ABC所成角为450.
(Ⅱ)解法一:作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则有A1D⊥平面ABC,
由三垂线定理得A1E⊥AB,
∴ ∠A1ED是平面A1ABB1与平面ABC所成二面角的平面角.
由已知得AB⊥BC,所以ED∥BC.
又D是AC的中点,BC=2,AC=,
∴ DE=1,AD=A1D=,
在
∴∠A1ED=600,
∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600.
(Ⅱ)解法二:由(Ⅰ)可知⊥平面ABC,于是以
为原点,过点平行于BC、AB的直线为x、y轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
则.
设平面的法向量为
,
由,得
,
令,则
,
∴.
又平面ABC的法向量为,
∴,
由图形得侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为锐角,
∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600.
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【题目】某高三年级在一次理科综合检测中统计了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化学的成绩制成下列散点图(物理成绩用表示,化学成绩用
表示)(图1)和生物成绩的茎叶图(图2).
(图1)
住校生 非住校生
2 6
9 8 5 4 4 3 1 7 4 5 7 7 9 9
6 5 8 2 2 5 7
(图2)
(1)若物理成绩高于90分,我们视为“优秀”,那么以这20人为样本,从物理成绩优秀的人中随机抽取2人,求至少有1人是住校生的概率;
(2)若化学成绩高于80分,我们视为“优秀”,根据图1完成如下列联表,并判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关;
住校 | 非住校 | |
优 秀 | ||
非优秀 |
附:(,其中
)
(3)若生物成绩高于75分,我们视为“良好”,将频率视为概率,若从全年级学生中任选3人,记3人中生物成绩为“良好”的学生人数为随机变量,求出
的分布列和数学期望.
【题目】某同学为了计算函数图象与x轴,直线
,
所围成形状A的面积,采用“随机模拟方法”,用计算机分别产生10个在
上的均匀随机数
和10个在
上的均匀随机数
,其数据记录为如下表的前两行.
2.50 | 1.01 | 1.90 | 1.22 | 2.52 | 2.17 | 1.89 | 1.96 | 1.36 | 2.22 | |
0.84 | 0.25 | 0.98 | 0.15 | 0.01 | 0.60 | 0.59 | 0.88 | 0.84 | 0.10 | |
0.92 | 0.01 | 0.64 | 0.20 | 0.92 | 0.77 | 0.64 | 0.67 | 0.31 | 0.80 |
(1)依据表格中的数据回答,在图形A内的点有多少个,分别是什么?
(2)估算图形A的面积.
【题目】某地煤气公司规定,居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成.每个月的保险费为3元,当每个月使用的煤气量不超过am3时,只缴纳基本月租费c元;如果超过这个使用量,超出的部分按b元/m3计费.
(1)请写出每个月的煤气费y(元)关于该月使用的煤气量x(m3)的函数解析式;
(2)如果某个居民7~9月份使用煤气与收费情况如下表,请求出a,b,c,并画出函数图象;
月份 | 煤气使用量/m3 | 煤气费/元 |
7 | 4 | 4 |
8 | 10 | 10 |
9 | 16 | 19 |
其中,仅7月份煤气使用量未超过am3.