题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若△AF1F2为正三角形且周长为6;
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C上存在A,B两点关于直线y=x+m对称,求实数m的取值范围;
(3)若直线l:y=kx+n与椭圆C交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证直线l过定点,并求出定点坐标.
(1)∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2
△AF1F2为正三角形且周长为6,
a=2c
6c=6
,解得c=1,a=2,b2=4-1=3,
∴椭圆C的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)设直线AB的方程为y=-x+p,设A(x1,y1)B(x2,y2
3x2+4y2=12
y=-x+p
,得7x2-8px+4p2-12=0
∵△=64p2-28(4p2-12)>0,
∴-
7
<n<
7

∵x1+x2=
8p
7
,x1x2=
4p2-12
7

设A.B的中点C(x0,y0),
x0=
4p
7
y0=
5
7
p

点C在l:y=-x+p上
∴p=3m,即-
7
<3m<
7
,得-
7
3
<m<
7
3

∴实数m的取值范围是(-
7
3
7
3
).
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
,得:(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0,
∵△>0,∴3+4k2-m2>0,
x1+x2=-
8mk
3+4k2
,x1x2=
4(m2-3)
3+4k2

∴y1y2=
3(m2-4k2)
3+4k2

∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,∴kAD•kBD=-1,
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,∴7m2+16mk+4k2=0,
∴m1=-2k,m2=-
2
7
k,且均满足3+4k2-m2>0,
当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),则直线过定点(2,0)与已知矛盾
m1=-
2
7
时,l的方程为y=k(x-
2
7
),则直线过定点(
2
7
,0)
∴直线l过定点,定点坐标为(
2
7
,0).
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