题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若△AF1F2为正三角形且周长为6;
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C上存在A,B两点关于直线y=x+m对称,求实数m的取值范围;
(3)若直线l:y=kx+n与椭圆C交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证直线l过定点,并求出定点坐标.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C上存在A,B两点关于直线y=x+m对称,求实数m的取值范围;
(3)若直线l:y=kx+n与椭圆C交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证直线l过定点,并求出定点坐标.
(1)∵椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,
△AF1F2为正三角形且周长为6,
∴
,解得c=1,a=2,b2=4-1=3,
∴椭圆C的标准方程为
+
=1.
(2)设直线AB的方程为y=-x+p,设A(x1,y1)B(x2,y2)
由
,得7x2-8px+4p2-12=0
∵△=64p2-28(4p2-12)>0,
∴-
<n<
∵x1+x2=
,x1x2=
,
设A.B的中点C(x0,y0),
则 x0=
,y0=
p,
点C在l:y=-x+p上
∴p=3m,即-
<3m<
,得-
<m<
.
∴实数m的取值范围是(-
,
).
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
,得:(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0,
∵△>0,∴3+4k2-m2>0,
x1+x2=-
,x1x2=
,
∴y1y2=
,
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,∴kAD•kBD=-1,
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,∴7m2+16mk+4k2=0,
∴m1=-2k,m2=-
k,且均满足3+4k2-m2>0,
当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),则直线过定点(2,0)与已知矛盾
当m1=-
时,l的方程为y=k(x-
),则直线过定点(
,0)
∴直线l过定点,定点坐标为(
,0).
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
△AF1F2为正三角形且周长为6,
∴
|
∴椭圆C的标准方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)设直线AB的方程为y=-x+p,设A(x1,y1)B(x2,y2)
由
|
∵△=64p2-28(4p2-12)>0,
∴-
7 |
7 |
∵x1+x2=
8p |
7 |
4p2-12 |
7 |
设A.B的中点C(x0,y0),
则 x0=
4p |
7 |
5 |
7 |
点C在l:y=-x+p上
∴p=3m,即-
7 |
7 |
| ||
3 |
| ||
3 |
∴实数m的取值范围是(-
| ||
3 |
| ||
3 |
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
|
∵△>0,∴3+4k2-m2>0,
x1+x2=-
8mk |
3+4k2 |
4(m2-3) |
3+4k2 |
∴y1y2=
3(m2-4k2) |
3+4k2 |
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,∴kAD•kBD=-1,
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,∴7m2+16mk+4k2=0,
∴m1=-2k,m2=-
2 |
7 |
当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),则直线过定点(2,0)与已知矛盾
当m1=-
2 |
7 |
2 |
7 |
2 |
7 |
∴直线l过定点,定点坐标为(
2 |
7 |
练习册系列答案
相关题目