Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对定义域每的任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：对于任意正整数，不等式恒成立。

Answer 1

【答案】. 。

（Ⅰ）当时，若，则，若，则，故此时函数的单调递减区间是，单调递增区间是；

当时， 的变化情况如下表：

	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是；

当时， ，函数的单调递增区间是；

当时，同可得，函数的单调递增区间是，单调递减区间是。

（Ⅱ）由于，显然当时， ，此时对定义域每的任意不是恒成立的，

当时，根据（1），函数在区间的极小值、也是最小值即是，此时只要即可，解得，故得实数的取值范围是。

（Ⅲ）当时， ，等号当且仅当成立，这个不等式即，当时，可以变换为，

在上面不等式中分别令，

所以

【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，对求导， 的根为a和1，比较a和1的大小，分四种情况分别判断的正负，得到函数的单调性；第二问，由，当时， ，此时对定义域内的任意x不是恒成立的，当时，利用导数求得在区间上取得最小值为，由最小值大于等于0求得a的取值范围；第三问，结合第二问的结论，知时， 恒成立，即，再利用不等式的累加得到结论．

试题解析：（1）

当时， 在上递减，在上递增

当时， 在， 上递增，在上递减

当时， 在上递增

当时， 在， 上递增， 上递减

（2）由（1）知当时

当时， 不恒成立

综上：

（3）由（2）知时， 恒成立

当且仅当时以“=”

时，

……