Question

16．已知|AB|=2，动点P满足|PA|=2|PB|，试建立恰当的直角坐标系，确定动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 先依据条件建立恰当的直角坐标系，设P为（x，y），依据题中条件：“距离之比”列关于x，y的方程式，化谙即可得点P的轨迹方程．

解答 解：选取AB所在直线为横轴，
从A到B为正方向，以AB中点O为原点，
过O作AB的垂线为纵轴，则A为（-1，0），
B为（1，0），设P为（x，y）
∵|PA|=2|PB|，∴$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$．
∴4（x-1）²+4y²=（x+1）²+y²，
∴3x²-16x+3y²+3=0．
因为x²，y²两项的系数相等，且缺xy项，
所以轨迹的图形是圆．
所求轨迹方程：3x²-16x+3y²+3=0．

点评 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．