题目内容
（本小题满分14分）
如图，四棱锥
的底面
为菱形，
平面，
，
、
分别为
、
的中点。
（I）求证：
平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积；
（Ⅲ）求平面与平面
所成的锐二面角大小的余弦值。
如图，四棱锥
的底面为菱形，平面，，、分别为、的中点。（I）求证：
平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）求平面
与平面所成的锐二面角大小的余弦值。（1）略
（2）
（3）
证明：（I）连结BD，由已知得BD=2，
在正三角形BCD中，BE=EC，
，又
，
………… 2分
又
平面
，
， …………3分
，
平面PAD。 …………4分
（Ⅱ）
，
且
， …… 5分
…… 8分
（Ⅲ）证法一：如图建立空间直角坐标系
，
则由（I）知平面的一个法向量为
，
设平面PBC的法向量为
，
由
取
得
…………11分
…………13分
平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为
…………14分
证法二：由（I）知
平面
平面
，
平面
平面 …………9分
又
平面
又
平面
平面
平面 …………10分
就是平面与平面所成二面角的平面角 …………12分
在
中，
…………14分
在正三角形BCD中，BE=EC，
，又， ………… 2分又
平面，， …………3分，平面PAD。 …………4分（Ⅱ）
，且
， …… 5分 …… 8分
（Ⅲ）证法一：如图建立空间直角坐标系
，则由（I）知平面
的一个法向量为，设平面PBC的法向量为
，由
取
得 …………11分 …………13分平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为 …………14分证法二：由（I）知平面平面，平面平面 …………9分又
平面又平面平面平面 …………10分就是平面与平面所成二面角的平面角 …………12分在中， …………14分
练习册系列答案
相关题目
中，侧面
，
均为正方形，∠
,点
是棱
的中点.
⊥平面
；
平面
；
的余弦值
是正方体
的一条对角线，则这个正方体中面对角线与
和矩形
所在平面相互垂直，
是
的中点．
；
与平面
与
所成角的余弦值．
中，
分别为
，
的中点.
； 
.
中，底面
是矩形，
平面
，
．以
的中点
为球心、
于点
，交
于点
．
与平面
所成的角的正弦值；
中，已知△
是正三角形，
平面
，
为
的中点，
在棱
上，且
， 
平面
；
所成的锐二面角的余弦值；
为
的中点，问
，使
平面