题目内容
如图，在三棱柱
中，侧面
，
均为正方形，∠
,点
是棱
的中点.
（Ⅰ）求证：
⊥平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值
中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.（Ⅰ）求证：
⊥平面；（Ⅱ）求证：
平面；（Ⅲ）求二面角
的余弦值（Ⅰ）证明略
（Ⅱ）证明略
（Ⅲ）
（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，
所以
,
所以
平面
，三棱柱是直三棱柱. ………………1分
因为
平面
，所以
， ………………2分
又因为
，为中点，
所以
. ……………3分
因为
,
所以
平面. ……………4分
（Ⅱ）证明：连结
，交
于点
，连结
，
因为为正方形，所以为中点，
又为中点，所以为
中位线，
所以， ………………6分
因为
平面，
平面，
所以平面. ………………8分
(Ⅲ)解： 因为侧面，均为正方形， 
，
所以
两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系
.
设
，则
.
， ………………9分
设平面的法向量为
，则有
，
， 
，
取
，得
. ………………10分
又因为
平面，所以平面的法向量为
，………11分
， ………………12分
因为二面角是钝角，
所以，二面角的余弦值为. ………………13分
，均为正方形， 所以
,所以
平面，三棱柱是直三棱柱. ………………1分因为
平面，所以， ………………2分又因为
，为中点，所以
. ……………3分因为
,所以
平面. ……………4分（Ⅱ）证明：连结
，交于点，连结，因为
为正方形，所以为中点，又
为中点，所以为中位线，所以
， ………………6分因为
平面，平面， 所以
平面. ………………8分(Ⅲ)解： 因为侧面
，均为正方形， ，所以
两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.设
，则.， ………………9分设平面
的法向量为，则有，， ，取
，得. ………………10分又因为
平面，所以平面的法向量为，………11分， ………………12分因为二面角
是钝角，所以，二面角
的余弦值为. ………………13分
练习册系列答案
相关题目
的正方体
中,
是线段
的中点,
.
^
；(Ⅱ) 求证:
；(Ⅲ) 求三棱锥
的体积.
、
的边长都是1，平面
平面
在
上移动，点
在
上移动，若
（
）
的长；
为何值时，
与面
所成锐二面角余弦值的大小.
是三条不重合的直线， 
是三个不重合的平面，下列四个命题正确的个数为 （ ）
, m∥
所成的角相等，则m∥n；
，n∥β，则
∥
,则m∥n．
中，
， 
，
.将四边形
折成四面体
，使平面
平面
，则下列结论正确的是
与平面
所成的角为
平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，
的底面
为菱形，
平面
，
、
分别为
、
的中点。
平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积；
所成的锐二面角大小的余弦值。