Question

【题目】已知抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点， ，且.

（1）求点的横坐标.

（2）若以， 为焦点的椭圆过点

（ⅰ）求椭圆的标准方程；

（ⅱ）过点作直线与椭圆交于， 两点，设，若，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）点的横坐标为.（2）（ⅰ）（ⅱ）

【解析】试题分析：（1）由对称性写出坐标，同时由对称性可设， ，由数量积的坐标运算可解得T点坐标。（2）由（1）得，待定系数及点在椭圆上可求得椭圆方程。由，得，且，结合韦达可求得，把通过坐标表示写成关于k的函数关系，即可求得范围。

试题解析：（1）由题意，得， ，

设， ，则， ，

由

得，即，①

又在抛物线上，则，②

联立①②易得，则点的横坐标为.

（2）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意，得

设椭圆的标准方程为（），

则，③

，④

将④代入③，解得或（舍去）

所以

故椭圆的标准方程为.

（ⅱ）由题意分析知直线的斜率不为，

设直线的方程为

将直线的方程代入中，得

设， ， ，则由根与系数的关系，

可得，⑤

⑥

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式，

得

由 ，所以

因为，

所以.

又，所以

故

令，因为

所以，即，

所以

而，所以

所以