[题目]已知抛物线的焦点为.点与关于坐标原点对称.直线垂直于轴.垂足为.与抛物线交于不同的两点. .且.(1)求点的横坐标.(2)若以. 为焦点的椭圆过点(ⅰ)求椭圆的标准方程,(ⅱ)过点作直线与椭圆交于. 两点.设.若.求的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，，且.

（1）求点的横坐标.

（2）若以，为焦点的椭圆过点

（ⅰ）求椭圆的标准方程；

（ⅱ）过点作直线与椭圆交于，两点，设，若，求的取值范围.

【答案】（1）点的横坐标为.（2）（ⅰ）（ⅱ）

【解析】试题分析：（1）由对称性写出坐标，同时由对称性可设，，由数量积的坐标运算可解得T点坐标。（2）由（1）得，待定系数及点在椭圆上可求得椭圆方程。由，得，且，结合韦达可求得，把通过坐标表示写成关于k的函数关系，即可求得范围。

试题解析：（1）由题意，得，，

设，，则，，

由

得，即，①

又在抛物线上，则，②

联立①②易得，则点的横坐标为.

（2）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意，得

设椭圆的标准方程为（），

则，③

，④

将④代入③，解得或（舍去）

所以

故椭圆的标准方程为.

（ⅱ）由题意分析知直线的斜率不为，

设直线的方程为

将直线的方程代入中，得

设，，，则由根与系数的关系，

可得，⑤

⑥

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式，

得

由，所以

因为，

所以.

又，所以

故

令，因为

所以，即，

所以

而，所以

所以

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