Question

4．设P：实数x满足x²-4ax+3a²?0，q：实数x满足|x-3|＜1；
（1）若a=1，且PΛq为真，求实数x的取值范围；
（2）若a＞0，且非P是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=1时，可以得出P：x＜1，或x＞3，q：2＜x＜4，而由P∧q为真可得到P真，q真，从而解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＜1，或x＞3}\\{2＜x＜4}\end{array}\right.$即可得出实数x的取值范围；
（2）a＞0时，可以得出P：x＜a，或x＞3a，从而可得出非P：a≤x≤3a，非q：x≤2，或x≥4，非P是非q的充分不必要条件，从而知道非P能得出非q，从而有3a≤2，或a≥4，再根据a＞0即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=1，解x²-4x+3＞0得，x＜1，或x＞3；
解|x-3|＜1得，2＜x＜4；
∴P：x＜1，或x＞3，q：2＜x＜4；
P∧q为真，∴P，q都为真；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1，或x＞3}\\{2＜x＜4}\end{array}\right.$；
∴3＜x＜4；
（2）a＞0，∴P：x＜a，或x＞3a；
∴非P：a≤x≤3a，非q：x≤2，或x≥4；
∵非P是非q的充分不必要条件；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{3a≤2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥4}\end{array}\right.$；
∴$0＜a≤\frac{2}{3}$，或a≥4；
∴实数a的取值范围为$（0，\frac{2}{3}]∪[4，+∞）$．

点评 考查一元二次不等式及绝对值不等式的解法，以及p∧q的真假和p，q真假的关系，充分不必要条件的概念．