Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=1，且a_n=-S_n-1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=$\frac{6}{lo{g}_{2}{a}_{n+1}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和求和的关系，再由等比数列的定义，即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式，求得a_n，再由对数的运算性质，化简b_n，再由裂项相消求和，即可得到所求．

解答 解：（1）证明：a₁=1，且a_n=-S_n-1（n∈N^*）．①
a_n-1=-S_n-1-1（n≥2）．②
①-②可得，a_n-a_n-1=-（S_n-S_n-1）=-a_n，
即为2a_n=a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
则数列{a_n}是首项为1，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
b_n=$\frac{6}{lo{g}_{2}{a}_{n+1}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{6}{lo{g}_{2}\frac{1}{{2}^{n}}•lo{g}_{2}\frac{1}{{2}^{n+1}}}$
=$\frac{6}{n（n+1）}$=6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则前n项和T_n=6（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=6（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{6n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．